Wat is het Central Limit Theorem (CLT)?

De Central Limit Theorem (CLT) is een statistisch concept dat stelt dat de gemiddelde steekproefverdeling van een willekeurige variabele een bijna normale of normale verdeling aanneemt als de steekproefomvang groot genoeg is. In eenvoudige bewoordingen stelt de stelling dat de steekproefverdeling van het gemiddelde gemiddelde een essentieel concept is in wiskunde en statistiek. In het algemeen verwijst een gemiddelde naar het gemiddelde of de meest voorkomende waarde in een verzameling benaderingen een normale verdeling naarmate de omvang van de steekproef toeneemt, ongeacht de vorm van de oorspronkelijke populatieverdeling.

Central Limit Theorem (CLT) Diagram dat convergentie naar normale verdeling weergeeft

Als de gebruiker het aantal monsters verhoogt tot 30, 40, 50, enz., Zal de grafiek van het monstermiddel naar een normale verdeling gaan. De steekproefomvang moet 30 of hoger zijn om de centrale limietstelling te behouden.

Een van de belangrijkste componenten van de stelling is dat het gemiddelde van de steekproef het gemiddelde van de gehele populatie is. Als u het gemiddelde van meerdere steekproeven van de populatie berekent, ze bij elkaar optelt en hun gemiddelde vindt, is het resultaat de schatting van het populatiegemiddelde.

Hetzelfde geldt bij het gebruik van standaarddeviatie Standaarddeviatie Vanuit statistisch oogpunt is de standaarddeviatie van een dataset een maat voor de grootte van de deviaties tussen de waarden van de opgenomen waarnemingen. Als u de standaarddeviatie van alle steekproeven in de populatie berekent, ze bij elkaar optelt en het gemiddelde vindt, is het resultaat de standaarddeviatie van de hele populatie.

Hoe werkt de centrale limietstelling?

De centrale limietstelling vormt de basis van de kansverdeling. Het maakt het gemakkelijk te begrijpen hoe populatieschattingen zich gedragen bij herhaalde steekproeven. Type II-fout Bij het testen van statistische hypothesen is een type II-fout een situatie waarin een hypothesetest de nulhypothese die onjuist is niet verwerpt. In andere . Wanneer uitgezet in een grafiek, toont de stelling de vorm van de verdeling gevormd door middel van herhaalde populatiemonsters.

Naarmate de steekproefomvang groter wordt, neigt de verdeling van de gemiddelden uit de herhaalde steekproeven te normaliseren en lijkt hij op een normale verdeling. Het resultaat blijft hetzelfde, ongeacht de oorspronkelijke vorm van de distributie. Het kan worden geïllustreerd in de onderstaande afbeelding:

Central Limit Theorem (CLT) - Hoe het ontstaat

Uit bovenstaande figuur kunnen we afleiden dat ondanks het feit dat de oorspronkelijke vorm van de verdeling uniform was, deze naar een normale verdeling neigt naarmate de waarde van n (steekproefomvang) toeneemt.

Behalve de vorm die het steekproefgemiddelde zal aannemen, geeft de centrale limietstelling ook een overzicht van het gemiddelde en de variantie van de verdeling. Het steekproefgemiddelde van de verdeling is het werkelijke populatiegemiddelde waaruit de steekproeven zijn genomen.

De variantie van de steekproefverdeling is daarentegen de variantie van de populatie gedeeld door n . Hoe groter de steekproefomvang van de distributie, hoe kleiner de variantie van het steekproefgemiddelde.

Voorbeeld van centrale limietstelling

Een belegger is geïnteresseerd in het schatten van het rendement van de ABC-beursindex die uit 100.000 aandelen bestaat. Vanwege de grote omvang van de index Dow Jones Industrial Average (DJIA) De Dow Jones Industrial Average (DJIA), ook wel aangeduid als 'de Dow Jones' of gewoon 'de Dow', is een van de meest populaire en meest erkende beursindexen, is de belegger niet in staat elk aandeel onafhankelijk te analyseren en kiest hij in plaats daarvan voor willekeurige steekproeven om een ​​schatting te krijgen van het algehele rendement van de index.

De belegger kiest willekeurige steekproeven uit de aandelen, waarbij elke steekproef uit minstens 30 aandelen bestaat. De monsters moeten willekeurig zijn en alle eerder geselecteerde monsters moeten in volgende monsters worden vervangen om vertekening te voorkomen.

Als het eerste monster een gemiddeld rendement van 7,5% oplevert, kan het volgende monster een gemiddeld rendement van 7,8% opleveren. Door de aard van een willekeurige steekproef zal elke steekproef een ander resultaat opleveren. Naarmate u de omvang van de steekproefomvang vergroot met elke steekproef die u kiest, zullen de steekproefmiddelen hun eigen distributies gaan vormen.

De verdeling van de steekproefgemiddelden zal naar normaal bewegen naarmate de waarde van n toeneemt. Het gemiddelde rendement van de aandelen in de steekproefindex schat het rendement van de hele index van 100.000 aandelen, en het gemiddelde rendement wordt normaal verdeeld.

Geschiedenis van de centrale limietstelling

De eerste versie van de centrale limietstelling werd bedacht door Abraham De Moivre, een in Frankrijk geboren wiskundige. In een artikel dat in 1733 werd gepubliceerd, gebruikte De Moivre de normale verdeling om het aantal koppen te vinden dat het resultaat was van meerdere worpen van een munt. Het concept was destijds niet populair en werd snel vergeten.

In 1812 werd het concept echter opnieuw geïntroduceerd door Pierre-Simon Laplace, een andere beroemde Franse wiskundige. Laplace introduceerde het concept van normale distributie opnieuw in zijn werk getiteld "Théorie Analytique des Probabilités", waar hij probeerde de binominale distributie te benaderen met de normale distributie.

De wiskundige ontdekte dat het gemiddelde van onafhankelijke willekeurige variabelen, wanneer ze in aantal toenemen, de neiging hebben om een ​​normale verdeling te volgen. In die tijd trokken Laplace's bevindingen over de centrale limietstelling de aandacht van andere theoretici en academici.

Later in 1901 werd de centrale limietstelling uitgebreid door Aleksandr Lyapunov, een Russische wiskundige. Lyapunov ging een stap vooruit om het concept in algemene termen te definiëren en te bewijzen hoe het concept wiskundig werkte. De karakteristieke functies die hij gebruikte om de stelling te geven, werden overgenomen in de moderne kansrekening.

Gerelateerde metingen

Finance is de officiële aanbieder van de wereldwijde Financial Modelling & Valuation Analyst (FMVA) ™ FMVA®-certificering Sluit je aan bij 350.600+ studenten die werken voor bedrijven als Amazon, JP Morgan en Ferrari-certificeringsprogramma, ontworpen om iedereen te helpen een financiële analist van wereldklasse te worden . Om te blijven leren en uw carrière vooruit te helpen, zijn de onderstaande aanvullende financiële bronnen nuttig:

  • Stelling van Bayes Stelling van Bayes In de statistiek en kansrekening is de stelling van Bayes (ook bekend als de regel van Bayes) een wiskundige formule die wordt gebruikt om de voorwaardelijke
  • Centrale tendens Centrale tendens Centrale tendens is een beschrijvende samenvatting van een dataset door middel van een enkele waarde die het centrum van de datadistributie weerspiegelt. Samen met de variabiliteit
  • Wet van grote getallen Wet van grote getallen In statistiek en kansrekening is de wet van grote getallen een stelling die het resultaat beschrijft van het herhalen van hetzelfde experiment een groot aantal
  • Totale waarschijnlijkheidsregel Totale waarschijnlijkheidsregel De totale waarschijnlijkheidsregel (ook bekend als de wet van de totale waarschijnlijkheid) is een fundamentele regel in statistieken met betrekking tot voorwaardelijke en marginale

Aanbevolen

Is Crackstreams afgesloten?
2022
Is het MC-commandocentrum veilig?
2022
Verlaat Taliesin een cruciale rol?
2022